9º número de Dedekind é descoberto após 32 anos de pesquisas

por Lucas
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Na matemática, a busca pelo conhecimento frequentemente leva a descobertas notáveis, e a recente revelação do nono número de Dedekind, D(9), é um testemunho dessa busca incansável. Após três décadas de pesquisa intensiva, matemáticos, auxiliados pelo poder de um supercomputador, identificaram com sucesso este número elusivo, expandindo nosso entendimento de um conceito matemático complexo.

A Complexidade dos Números de Dedekind

Números de Dedekind, nomeados em homenagem ao matemático alemão Richard Dedekind, são uma classe especial de inteiros associados a funções Booleanas. Essas funções operam em entradas binárias, tipicamente representadas por 0s e 1s, ou em termos mais compreensíveis, estados verdadeiros e falsos. A importância dos números de Dedekind reside em sua conexão com funções Booleanas monótonas, que são regidas por uma regra: mudar uma entrada de 0 para 1 pode apenas alterar a saída de 0 para 1, não o inverso.

Para visualizar isso, imagine um cubo n-dimensional equilibrado em um canto, com cada canto restante pintado de vermelho ou branco, seguindo uma regra de que um canto branco não pode ser colocado acima de um vermelho. O desafio é contar as várias maneiras que essa coloração pode ser alcançada sem violar a regra. Os números de Dedekind, começando de D(1), representam a contagem desses arranjos de cores para dimensões crescentes do cubo. A progressão começa de forma simples – D(1) é 2, D(2) é 3, e assim por diante – mas rapidamente aumenta em complexidade.

A Jornada para D(9)

supercomputador

A descoberta de D(9) marca um salto significativo na sequência. Antes disso, o último número de Dedekind conhecido, D(8), foi identificado em 1991 com a ajuda de um supercomputador Cray-2. Esse número de 23 dígitos levou 200 horas para ser computado, mostrando o imenso desafio computacional apresentado por esses números. Avançando para o presente, e a busca por D(9) quebrou recordes anteriores. Esse colosso de 42 dígitos está quase duas vezes mais longo que seu predecessor.

Alcançar essa façanha exigiu mais do que apenas poder computacional bruto. Necessitou do uso de um supercomputador especializado, Noctua 2, localizado na Universidade de Paderborn. Esta máquina, equipada com Arrays de Portas Programáveis em Campo (FPGAs), é capaz de processar múltiplos cálculos simultaneamente. Essa capacidade foi essencial para lidar com o número astronômico de termos envolvidos no cálculo de D(9) – um impressionante 5,5*10^18, quase o número estimado de grãos de areia na Terra.

Para tornar esse cálculo viável, os pesquisadores empregaram uma estratégia de otimização da fórmula usando simetrias, reduzindo assim a carga computacional. Após cinco meses de processamento incessante, Noctua 2 entregou o número há tanto procurado, marcando um marco no campo da matemática combinatória.

Olhando para o futuro, a questão de D(10) é iminente. Dada a crescente complexidade com cada número de Dedekind sucessivo, é concebível que descobrir D(10) possa levar décadas, se for possível com a tecnologia atual ou em um futuro próximo. No entanto, se a história nos ensinou algo, é que os reinos da matemática e do poder computacional estão sempre se expandindo, transformando continuamente o impossível em possível.

O artigo foi apresentado em setembro no Workshop Internacional sobre Funções Booleanas e suas Aplicações (BFA) na Noruega.

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